liverucollective

1. Решу Оге По Математике
2. Ответы По Математике 5 Класс
3. Шпаргалки По Высшей Математике

Основные теоремы и определения Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом. При этом числа будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.

Шпаргалки по высшей математике в нескольких комплектах. Каждый комплект упакован в удобное приложение для телефона. Скачать шпаргалки. Аннотация к книге 'Шпаргалка по высшей математике (2 семестр): ответы на экзаменационные билеты'. Все выучить - жизни не хватит, а экзамен. Шпаргалки на телефон — незаменимая вещь при сдаче экзаменов, подготовке к контрольным работам и т.д. Благодаря нашему сервису вы получаете возможность скачать на телефон шпаргалки по высшей математике. Все шпаргалки представлены в популярных форматах fb2, txt, ePub, html, а также существует версия java шпаргалки в виде удобного приложения для мобильного телефона, которые можно скачать бесплатно. Достаточно скачать шпаргалки по высшей математике — и никакой экзамен вам не страшен! Если возникла проблема. Если приложение не запускается на вашем телефоне — воспользуйтесь этой формой.

Суммы, n = 1, 2, называются частными (частичными) суммами ряда. Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2,Sn, Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. Не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. Свойства рядов.

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда. 2) Рассмотрим два ряда и, где С – постоянное число. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0) 3) Рассмотрим два ряда.

Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя. При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n N и любом p 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:. 1.3 Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке a,b, если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда) Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e0 существовал такой номер N(e), что при nN и любом целом p0 неравенство выполнялось бы для всех х на отрезке a,b. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик) Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке a,b, если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами: т.е. Имеет место неравенство:.

Игра луксор 1. Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом. Ряд называется положительным, если Un≥0, для всех n € N Интегральный признак Коши. Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке 1;¥), то ряд j(1) + j(2) + + j(n) + = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости. Ряд сходится при a1 и расходится a£1 т.к. Соответствующий несобственный интеграл сходится при a1 и расходится a£1. Ряд называется общегармоническим рядом.

Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида. Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера. Исследовать на сходимость ряд Применяем признак Даламбера:. Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при. Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница. При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд). 1 теорема Абеля. (Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик) Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится и притом абсолютно для всех.

По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: Из этого неравенства видно, что при x 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя. Определить сходимость ряда.

Вывод: ряд сходится. Определить сходимость ряда Вывод: ряд сходится. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Совокупность соотношений вида: где х- независимая переменная, у1, у2,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид: (1) Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные по, то для любой точки этой области существует единственное решение системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций, которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество Ряды с неотрицательными членами. При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. При простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами. Пусть даны два ряда и при un, vn ³ 0.

Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда, а из расходимости ряда следует расходимость ряда. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов. По условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. При всех n sn 1 ряд расходится. Интегральный признак Коши. Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке 1;¥), то ряд j(1) + j(2) + + j(n) + = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости. Ряд сходится при a1 и расходится a£1 т.к.

Решу Оге По Математике

Соответствующий несобственный интеграл сходится при a1 и расходится a£1. Ряд называется общегармоническим рядом. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Знакочередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где Признак Лейбница. Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины ui убывают и общий член стремится к нулю, то ряд сходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Пусть - знакопеременный ряд. Признак Даламбера.

Если существует предел, то при r1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Если существует предел, то при r1 ряд будет расходящимся.

При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда. Разложить в ряд функцию при помощи интегрирования. При получаем по приведенной выше формуле: Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру. Тогда получаем: Окончательно получим: Абсолютная и условная сходимость рядов. Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков). (1) и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1): (2) Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e0 существует число N, такое, что при nN и любом целом p0 верно неравенство: По свойству абсолютных величин: То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд. Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами. 2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму. Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда. 5) Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S×s - произведению сумм перемножаемых рядов. Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд. Тригонометрический ряд. Тригонометрическим рядом называется ряд вида: или, короче, Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. Функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке -p; p, а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x). Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами: Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.

Функция f(x) непрерывна на отрезке -p; p, то существует интеграл Такой результат получается в результате того,. Получаем: Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.

Отсюда получаем: Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p. Получаем: Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an. Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке -p; p или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x). Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Функциональные ряды. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции Определение.

Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х0. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке a,b, если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда) Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e0 существовал такой номер N(e), что при nN и любом целом p0 неравенство выполнялось бы для всех х на отрезке a,b. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке -p;p непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок -p;p можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна, т.е. Среднему арифметическому предельных значений слева и справа.

При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке -p;p. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке -p;p или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке -p;p. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке a, b и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке a, b. Y f(x) a - 2T a a b a+2T a + 4T x Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка a, b совпадает с функцией f(x), т.е. Можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке a, b. Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции.

Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке a,b Свойства равномерно сходящихся рядов. 1) Теорема о непрерывности суммы ряда. Если члены ряда - непрерывные на отрезке a,b функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке a,b.

2) Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке a,b ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. Ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку a,b, сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку. 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда сходящегося на отрезке a,b представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно. На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик) Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке a,b, если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами: т.е. Имеет место неравенство:.

Ответы По Математике 5 Класс

Шпаргалки По Высшей Математике

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом Ряды Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке -l, l имеет вид: Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид: Для нечетной функции: Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке -p;p непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок -p;p можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна, т.е. Среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).